Galakhad,
У меня было так: когда заполняла анкету на лотерею и DS-260 имя написала как в загранпаспорте.
Незадолго до интервью поменяла загранпаспорт, т.к. старый закончился.
В новом загранпаспорте мне так написали имя, что его и выговорить стало невозможно, ну на английском языке.
Пыталась договориться о замене написания имени в новом загранпаспорте,чтобы было как в старом. Мне отказали.
В DS260 вносить изменения по поводу имени не стала, пошла на интервью с новым ужасным именем.
На интервью мне и слова по этому поводу никто не сказал. Как-то сами разобрались с этим.
И, кстати, насколько я понимаю, написание имени Егор возможно и в таких вариантах латинскими буквами :Egor, Yegor, Jegor.
И всё это будет русское имя ЕГОР, а не какое-нибудь другое имя.